Wpisz sudo apt-cache search java
i zobaczysz listę pakietów związanych z java oraz ich opisy. Będziesz wtedy wiedział jaką nazwę pakietu wpisać.
Poza tym Mint powinien mieć zainstalowany menedżer aplikacji o nazwie Centrum Oprogramowania, za pomocą którego możesz zainstalować dostępne aplikacje dużo łatwiej i wygodniej.
Ale wiesz, że ani jedna Java nie nazywa się java? Masz środowisko uruchomieniowe JRE i środowisko developerskie JDK.
Więc uzbrojony w tą wiedzę instalujesz pakiet "default-jdk" albo "default-jre", według potrzeb (JDK samo sobie doinstalowuje pasujące JRE)
Jeżeli nie chodzi wyłącznie o uruchomienie apletu na stronie (masakra pod kątem bezpieczeństwa, niezależnie jak bardzo aktualna maszyna Javy jest użyta), to w 99% potrzebujesz pełnego JDK.
Wersja instalowana powyżej to OpenJDK. Jeżeli koniecznie potrzebujesz wersji Oraclowskiej, to najwygodniejsze będzie dodanie PPA WebUpd8 (https://launchpad.net/~webupd8team/+archive/ubuntu/java):
sudo add-apt-repository ppa:webupd8team/java
sudo apt-get update
sudo apt-get install oracle-java8-set-default