Kochane Realteki, ale tylko niektóre, bo nie wszystkie na szczęście.
Mam inną rewizję tego chipsetu i od bardzo długiego czasu jest spokój. Możesz sprawdzić, czy usterki znikną po instalacji "dedykowanego" sterownika do tej karty sieciowej, r8168-dkms.
Na początek upewnij się, że system jest w pełni zaktualizowany:
Jeśli aktualizowane będzie jądro to dla pewności uruchom komputer ponownie.
Następnie:
apt-get install build-essential linux-headers-"$(uname -r)" r8168-dkms
Uruchom ponownie komputer. Sprawdź czy jest internet i podaj wyniki takich poleceń - oprócz pierwszego:
journalctl -q -b -u NetworkManager
Jeśli natomiast internet nie działa, to wiedz, że coś się dzieje

Wtedy usuniesz pakiet:
apt-get --purge remove r8168-dkms